Teoría de Conjuntos y Lógica Proposicional: LÓGICA PROPOSICIONAL

Lógica

Se entiende por Lógica a la ciencia avocada al estudio del razonamiento, propio y definitorio del ser humano. La lógica estudia los razonamientos llamados “argumentos”, que están conformados por proposiciones, que pueden ser premisas o conclusión.

Proposiciones

Una proposición es una oración declarativa o una expresión matemática que es verdadera o es falsa, pero no ambas. De esta manera, una proposición tiene un valor de verdad, que puede ser V, si es verdadera o puede ser F, si es falsa.

Lógica proposicional

Es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.

Ejemplo de proposiciones verdaderas pueden ser:

* “ 6 es un número entero par”

* “El hidrógeno es el primer elemento de la tabla periódica”

* “10 es múltiplo de 2”

Ejemplo de proposiciones falsas pueden ser:

* “La lechuga es una fruta”
* “La solución de 2x-3=1 es 5”
* “10 es múltiplo de 3”

Generalmente, para referirse a proposiciones específicas se usan letras mayúsculas:

* P: El león come carne
* Q: La jirafa come ramas y hojas de los árboles

Proposiciones Simples

Una proposición simple es una afirmación conformada por una sola oración gramatical. Ejemplo:

* Un triángulo equilátero es aquel cuyos lados tienen la misma medida, es una proposición simple, puesto que está conformada por una sola oración.

Conectivos Lógicos

Llamados también operadores, son símbolos del lenguaje formal que reemplazan a los conectivos gramaticales y al adverbio de negación no.

Proposiciones Compuestas

Una proposición compuesta es una afirmación conformada por dos o más proposiciones simples que se conectan usando las palabras “y”, “o”, “si… entonces”, “no” y “si y solo si”

Así que si tiene dos proposiciones simples como:

p: Carlos juega béisbol

q: Es una persona amigable

Se puede generar una proposición compuesta; Carlos juega béisbol y es una persona amigable

Tablas de Verdad

Es una tabla que se arna con los posibles valores de verdad de las proposiciones simpes que la componen con finalidad de obtener valores de verdad de la proposición dada. Estas pueden representar con 1 ó V si es verdadero y 0 ó F si es falso.

Tabla de verdad de Conjunción

Únicamente es verdadero cuando ambas son verdaderas

Tabla de verdad de Disyunción

Únicamente es falso cuando ambas son falsas

Tabla de verdad de Disyunción Exclusiva

Son falsas, cuando ambas son verdaderas o falsas y verdaderas, cuando una es falsa y otra verdadera o viceversa

Tabla de verdad de Implicación

Unicamente es falsa cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa

Tabla de verdad Bicondicional

Son falsas, cuando una es verdadera y otra falsa o viceversa, y son verdaderas cuando ambas son falsas o verdaderas

Tabla de verdad de Negación

Es lo contrario, si es falsa es verdadera y si es verdadera entonces es falsa

Tipos de proposiciones

Tautología

Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: A Ú ¬A

Contradicción

Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: A ^ ¬A

Contingencia

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa,(combinación entre tautología y contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: A ^ (B Ú C)

Leyes de Lógica

Las proposiciones verifican ciertas propiedades conocidas como Leyes del Algebra de Proposiciones. Estas propiedades son las siguientes

1.- Leyes de Idempotencia: a. (pÚp)Ûp

b. (pÙp)Ûp

2.- Leyes conmutativa: a. pÚqÛqÚp

b. pÙqÛqÙp

3.- Leyes asociativa: a. ((pÚq)Úr)Û(pÚ(qÚr))

b. ((pÙq)Ùr)Û(pÙ(qÙr))

4.- Leyes de distributiva: a. (p Ù q)ÙrÛpÙ(qÙr)

b. (pÚq)ÚrÛpÚ(qÚr)

5.- Leyes de Identidad: pÚFÛp pÚVÛV

pÙFÛF pÙVÛp

6.- Leyes de Complementación: pÚ~pÛV ~FÛV

pÙ~pÛF ~VÛF

7.- Leyes de Morgan: ~(pÚq) Û~pÙ~q

~(pÙq) Û~pÚ~q

8.- Doble negación: ~ ~ pÛp

9.- Leyes de Implicación: p®qÛ(~q®~p)

p®qÛ~pÚq

pÙ(p®q)ÛpÙq

Estas leyes se pueden verificar fácilmente mediante tablas de la verdad. Las letras V y F indicadas anteriormente en las leyes, indican variables que se restringen a los valores de verdadero y falso, respectivamente

Reglas de Inferencias

Si actuando según unas reglas dadas, sobre unas fórmulas también dadas, obtenemos una nueva formula, diremos que esta se ha inferido o deducido de aquéllas.

A las reglas dadas se les llama regla de inferencia, a la formula de partida premisas y a las fórmulas de llegadas conclusión.

Al proceso mediante el cual la conclusión se sigue de las premisas se llama prueba, deducción o demostración.

A las inferencias que siguen las reglas establecidas se les llama correctas, e incorrectas a las que no la siguen.

Regla de inferencia. Son las que de cada conjunto suficiente de premisas, P1,P2,....., nos permite deducir una conclusión C. Son varios los sistemas de reglas que resuelven este problema; uno de ellos es el que esta integrado por las reglas siguientes:

1^a. Regla de separación. MODUS PONENDO PONENS: Si tomamos como premisa un condicional y su antecedente, el consecuente puede ser inferido como conclusión.

Si las premisas P1 y P2 las ponemos una encima de otra, debajo de ellas una línea horizontal y debajo de esta la conclusión C, la primera regla de inferencia puede ser escrita en la forma simbólica siguiente:

P1: p®q

P2: p

C: q

Ejemplo:

P1: Si gano la lotería, entonces compro apartamento

P2: Gano la Loteria

C: Compro Apartamento

2°. MODUS TOLLENDO TOLENS: Dadas como premisas una proposición condicional y la negación de su consecuente. Se puede concluir la negación de su antecedente

Procediendo como el caso anterior, la segunda regla puede ser escrita en la forma simbólica siguiente:

P1: p®q

P2: ~q

C: ~p

Ejemplo:

P1: Si hoy es martes entonces, mañana es miércoles

P2: Mañana no es miércoles

C: Hoy no es martes

3°. Regla de Conjunción. Dada como premisas dos proposiciones, se puede concluirla conjunción de ambas.

P1: p

P2: q

C: pÙq

Ejemplo:

P1: Juan es estudioso

P2: Ana es floja

C: Juan es estudioso y Ana es floja

4°. Regla de Simplificación: dada como premisa la conjunción de dos proposiciones, se puede concluir cualquiera de ellas. Esta cuarta regla puede ser escrita de la forma simbólica siguiente:

P1: pÙq P1: pÙq

C: p C: q

5°. Regla MODUS TOLLENDO PONENS: Dadas como premisas la disyunción de dos proposiciones y la negación de una de ellas, se puede concluir la otra proposición

P1: pÚq P1: pÚq

P2: ~q P2: ~p

C: p C: q

6°. Ley de adición: Dada como premisa una proposición, se puede concluir las disyunción de ella con cualquier otra proposición

P1: p

C: pÙq donde q es una proposición cualquiera

7°. Ley de Silogismo hipotético: Dadas como premisas dos condicionales p®q y q®r, se puede concluir el condicional p®r

P1: p®q P1: q®r

P2: q®r P2: p®q

C: p®r C: p®r

8°. Ley de Silogismo disyuntivo: Dadas como premisas dos condicionales p®s y q®t, y la disyunción de sus antecedentes se puede concluir las disyunción de sus consecuente

P1: p®s

P2: q®t

P3: pÚq

C: s Ú t

LÓGICA PROPOSICIONAL

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