Conjuntos

La idea de agrupar objetos de la misma naturaleza para clasificarlos en “colecciones” o “conjuntos” es parte de la vida diaria de los seres humanos. Por ejemplo, el conjunto de libros de una biblioteca, el conjunto de árboles en un terreno, el conjunto de zapatos en un negocio de venta al público, el conjunto de utensilios en una cocina, etcétera. En todos estos ejemplos, se utiliza la palabra conjunto como una colección de objetos.

El concepto de Conjunto, entonces, está referido a reunir o agrupar personas, animales, plantas o cosas, para estudiar o analizar las relaciones que se pueden dar con dichos grupos.

Conjunto Universal (U)

Se denomina así al conjunto que contiene a todos los elementos. Este conjunto depende del problema que se estudia, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo.

Ejemplo: A=[1,2,4,5] ; B=[3,4,5,6] el conjunto U serían todos los elementos, U=[1,2,3,4,5,6]

Conjunto Vacío (Ø)

Es el conjunto que no contiene ningún elemento. Puesto que lo único que define a un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es único.

Ejemplo: A=[Las personas que vuelan]   A=Ø

Formas de Expresar los Conjunto

Por extensión:  se escriben todos sus elementos separados por comas ( , ) y llaves ( [] )

Ejemplo: [Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno]

Por comprensión: se define enunciando una(s) propiedad(es), que cumple cada una de sus elementos.

Ejemplo: [x/x es un planeta]

Unión: son todos los elementos que están en ambos elementos sin repetir

Intersección: son todos los elementos que tienen en común ambos conjuntos

Finito: es aquel al cual se pueda determinar la cantidad exacta de los elementos, independientemente de su cantidad. 

Ejemplo: las vocales; A=[a,e,i,o,u]

Infinito: lo contrario a los conjuntos finitos, es aquel al cual no se le puede determinar una cantidad exacta de los elementos. Ejemplo: los números reales (R)  B=[x/x es un número real]

Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo: F=[x/2x+6=0]

Dado un conjunto universal U y un conjunto A, se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto de A. Se denota: A´

Ejemplo: U=[a,b,c,d,e,f] ; A=[a,c,e] entonces: A´=[b,d,f]

Conjuntos disjuntos o disyuntos

A veces, dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, esto es, la intersección de ambos es el conjunto vacío. En este caso diremos que los conjunto son disjuntos o incompatibles. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales impares y el conjunto de los números naturales pares son disjuntos porque no hay ningún número natural que sea simultáneamente par e impar, es decir, la intersección de ambos conjuntos es el conjunto vacío.

Propiedades de los Conjuntos

Identidad:


Idempotencia:

* A∪A= A (un conjunto unido con el mismo es igual al mismo conjunto)
* A∩A= A (un conjunto interceptado con el mismo es igual al mismo conjunto)

Complemento:

* A∪A´= U
* A∩A= Ø

Asociativa:

* (A∪B)∪C = A∪(B∪C)
* (A∩B)∩C = A∩(B∩C)

Conmutativa:
* A∪B = B∪A
* A∩B = B∩A

Distributiva:

* A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
* A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

Ley de Morgan:
* (A∪B)´= A' ∩ B´
* (A∩B)´= A´∪ B´